jueves, 18 de septiembre de 2008

Unidad II. Electrostatica

2.1 Campos Electroestáticos en el vacío


El campo eléctrico es una región del espacio perturbado por cargas eléctricas en reposo, donde la región ejerce una fuerza sobre cualquier carga que a ella se lleve.

Si en un punto cualquiera del espacio en donde está definido un campo eléctrico se coloca una carga de prueba o carga testigo, se observará la aparición de fuerzas eléctricas, es decir, de atracciones o de repulsiones sobre ella.

Sus características principales son:


a) Dirección y Sentido de un Campo Eléctrico


En un punto se define como la dirección y el sentido de la fuerza que se ejercería sobre una carga puntual y positiva (carga de prueba ) situada en dicho punto:



  • Si la carga q que genera el campo es positiva, el vector apunta saliendo de la carga.
  • Si la carga q que genera el campo es negativa, el vectror apunta hacia la carga

  • b) Intensidad del Campo Eléctrico


    La magnitud del vector se denomina intensidad del campo eléctrico.


    • La dirección y el sentido E son los mismos que la fuerza ( ) que actua sobre la carga de prueba ( ).

    • Sí se conoce el campo eléctrico se puede determinar la fuerza eléctrica so una carga.


    c) Unidades del Campo Eléctrico

    La unidad de campo eléctrico podría fácilmente deducirse de la siguiente fórmula:



    El cociente de una fuerza electrostática F y una carga eléctrica Q. Que tiene unidades de

    Newton / Culombio.



    2.2 Ley de Coulomb e Intensidad de campo eléctrico

    Ley de Coulomb.

    La ley de Coulomb es válida sólo en condiciones estacionarias, es decir, cuando no hay movimiento de las cargas o, como aproximación cuando el movimiento se realiza a velocidades bajas y en trayectorias rectilíneas uniformes. Es por ello llamada fuerza electrostática.

    En términos matemáticos, la magnitud F de la fuerza que cada una de las dos cargas puntuales q1 y q2 ejerce sobre la otra separadas por una distancia d se expresa como:

    Dadas dos cargas puntuales q1 y q2 separadas una distancia d en el vacío , se atraen o repelen entre sí con una fuerza cuya magnitud esta dada por:


    La Ley de Coulomb se expresa mejor con magnitudes vectoriales:





    donde es un vector unitario que va en la dirección de la recta que une las cargas , siendo su sentido desde la carga que produce la fuerza hacia la carga que la experimenta.

    El exponente (de la distancia: d) de la Ley de Coulomb es, hasta donde se sabe hoy en día, exactamente 2. Experimentalmente se sabe que, si el exponente fuera de la forma

    , entonces <>-16



    Representación gráfica de la Ley de Coulomb para dos cargas del mismo signo.

    La ley de Coulomb es una ecuación vectorial e incluye el hecho de que la fuerza actúa a lo largo de la línea de unión entre las cargas.


    Intensidad de campo eléctrico.

    La fuerza eléctrica que en un punto cualquiera del campo se ejerce sobre la carga de unidad positiva, tomada como elemento de comparación, recibe el nombre de intensidad del campo eléctrico y se representa por la letra E. Por tratarse de una fuerza la intensidad del campo eléctrico es una magnitud vectorial que viene definida por su módulo E y por su dirección y sentido.

    Además está relacionada con la fuerza de modo que conociendo el valor de E en un punto es posible determinar la fuerza que experimentaría una carga distinta de la unidad si se la situara en dicho punto, y viceversa.

    El módulo de la intensidad de campo E debido a una carga puntual Q viene dada por la expresión:



    jueves, 11 de septiembre de 2008

    Tarea para el 12 de Septiembre

    1.- Calcular el gradiente de la función


    a) f (x,y) = 4x2 – 3xy + y2


    f’ x (x,y) = 8x – 3y + 0 i

    f ’y (x,y) = 0 – 3x + 2y j


    Vf(x, y) = (8x-3y) i + (-3x + 2y) j


    b) f(x,y,z) = x-y ÷ x+z


    f’x(x,y,z)


    = (x+z)(1) – (x-y)(1) ÷ (x+z)2

    = z+y / (x+z)2 i


    f’y(x,y,z)


    = - (x+z) (d/dx y) – (y) (d/dx x+z) ÷ (x+z)2

    = - (x+z) (1) – y (0) ÷ (x+z)2

    = - x+z ÷ (x+z)2

    = - 1 / x+z j


    f’z(x,y,z)


    = (x+z) (d/dx x – y) – (x – y) (d/dx x+z) ÷ (x+z)2

    = x+2 (0) – (x – y) (1) ÷ (x+z)2

    = - x+y / (x+z)2 k


    Vf(x,y,z) = [z+y/(x+z)2] i + [- 1/x+z ] j [- x+y/ (x+z)2] k



    2.- Calcular la divergencia y el rotacional de campo vectorial F

    a) F(x, y,z) = 6x2 i – xy2 j



    div F= V.F = M + N +R


    div F = 12x – x2y



    rot = V x F =


    i = + (-x2y)(0) – (xy2)(0) = 0

    j = - (12x)(0) – (6x2)(0) = 0

    k = + (12x)(-xy2) – (6x2) (-x2y) = (-12x2y2) – (-6x3-2y) = -12x2y2 + 6x32y


    rot = (0,0, -12x2y2 + 6x32y)


    b) F(x,y,z) = senx i + cosy j + z2


    div F = V.F = cosx (1) – seny (1) +2z

    div F = cosx – seny +2z


    rot = V x F =



    i = + (-seny)(z2) – (cosy) (2z) = + (-senyz2 – cosy2z) = -senyz2 – cosy2z

    j = - (cosx)(z2) – (senx)(2z)= - (cosxz2 – senx2z) = -cosxz2 + senx2z

    k = + (cosx)(cosy) – (senx)(-seny) = + (cosxcosy + senxseny) = +cosxcosy + senxseny


    rot = -senyz2 – cosy2z i -cosxz2 + senx2z j +cosxcosy + senxseny k



    c) F(x,y,z) = exseny i – excosx j En el punto (0,0,3)


    divF = exseny – 0

    divF = exseny



    rot= V x F =



    i = + (0)(0) – (-excosx)(0) = 0

    j = - (exseny)(0) – (exseny)(0) = 0

    k = + (exseny)(-excosx) –(exseny)(0) = +(-exseny excosx) = -e0sen0 e0cos0= -(1)(0)(1)(1)


    rot = 0 i + 0 j + 0 k