Repaso para el 1ro de Septiembre

Sea:

μ = (2,-1,3)
v = (0,1,7)
w = (1,4,5)

1.- Realizar las siguientes operaciones

a) (μ x v) x (v x w)

(μ x v)
i , j , k
2 , -1 , 3
0 , 1 , 7

+i= (-1)(7) – (3)(1) = + (-7 – 3) = + (-10) = -10
-j = (2)(7) – (3)(0) = - (14 – 0) = - (14) = -14
+k = (2)(1) – (-1)(0) = + (2 – 0) = +(2) = 2

(μ x v) = (-10,-14,2)


(v x w)
i , j , k
0 , 1 , 7
1 , 4 , 5

+i = (1)(5) – (7)(4) = + (5 – 28) = + (-23) = -23
- j = (0)(5) – (7)(1) = - (0 – 7) = - ( -7) = +7
+k = (0)(4) – (1)(1) = + (0 – 1) = + (-1) = -1

(v x w) = (-23,7,-1)


(μ x v) x (v x w)
i , j , k
-10 , -14 , 2
-23 , 7 , -1

+i = (-14)(-1) – (2)(7) = + (14 – 14) = + (0) = 0
-j = (-10)(-1) – (2)(-23) = - (10 +45) = -(56) = -56
+k = (-10)(7) – (-14)(-23) = + (-70 – 322) = + (-392) = -392

(μ x v) x (v x w) = (0,-56,-392)


b) μ x (v – 2w)

2w
= 2 (1,4,5)
= 2(1), 2(4), 2(5)
= (2, 8,10)


(v – 2w)
= (0,1,7) – (2,8,10)
= (-2,-7,-3)


μ x (v – 2w)
i , j , k
2 , -1 , 3
-2 , -7 , -3

+i = (-1)(-3) – (3)(-7) = + (3 +21) = + (24) = +24
-j = (2)(-3) – (3)(-2) = - (-6 +6) = - (0) = 0
+k = (2)(-7) – (-1)(-2) = + (-14 – 2) = + ( -16) = - 16

μ x (v – 2w) = (24,0,-16)


c) (μ x v) – 2w

(μ x v)
i , j , k
2 , -1 , 3
0 , 1 , 7

+i= (-1)(7) – (3)(1) = + (-7 – 3) = + (-10) = -10
-j = (2)(7) – (3)(0) = - (14 – 0) = - (14) = -14
+k = (2)(1) – (-1)(0) = + (2 – 0) = +(2) = 2

(μ x v) = (-10,-14,2)


2w
= 2 (1,4,5)
= 2(1), 2(4), 2(5)
= (2, 8,10)



(μ x v) – 2w

= (-10 , -14 , +2) - ( 2 , 8 , 10)
= (-12 , -22 , -8)


(μ x v) – 2w = (-12,-22,-8)







Hallar el área del triangulo que tiene vértices P, Q, R

P (2,0,-3)
Q (1,4,5)
R (7,2,9)



Formula:
A = ½ II P1P2 x P1P3 II

Primer Paso: Realizar la resta indicada, recordando que cada punto tiene tres coordenadas (x,y,z) por lo cual se deberá restar entre las coordenadas de cada punto, es decir , del punto P2 la coordenada x2 será restada del punto P1 la coordenada x1, y así sucesivamente.

P1P2 = X2 – X1 = (-1,4,8)
P1P3 = X3 – X1 = (5,2,12)


Segundo Paso: Con los valores obtenidos del primer paso se realizara la multiplicación entre las variables expuestas, es decir si se desea obtener la variable (i) se eliminara su columna y se realizara la multiplicación de los valores expuestos de manera diagonal.

P1P2 - P1P3 =

i j k
-1 4 8
5 2 12


i = (4)(12) – (8)(2)
j = - (-1)(12) – (8)(5)
k= + (-1)(2) – (4) (5)


i = 48 – 16 = 32
-j = -12 – 40 = 52
+k = -2 – 20 = -22


Tercer Paso: Una vez obtenido los valores de i,j,k se elevaran al cuadrado para ser sumados y del resultado de dicha suma se le sacara raiz.

II P1P2 x P1P3 II =

= √ (32)2 i + (52)2 j + (-22)2 k
=√1,021 + 2,704 + 484
= √4,212
= 64.9


Cuarto Paso: Una vez obtenido el resultado del paso anterior se le sacara mitad, dicho resultado que arroje es el área del triangulo.

A = ½ II P1P2 x P1P3 II = 64.9/2 = 32.45