a) (5, ½ π, 3)
x = r cos θ = 5 cos ½ π = 5 (0) = 0
y = r sen θ = 5 sen ½ π = 5 (1) = 5
z = z = 3
Por lo tanto las coordenadas cartesianas son: (0,5,3)
b) (6, 1/3 π, -5)
x = r cos θ = 6 cos 1/3 π = 6 (0.5) = 3
y = r sen θ = 6 sen 1/3 π = 6 (0.86) = 5.2
z = z = -5
Por lo tanto las coordenadas cartesianas son: (3,5.2, -5)
2) Cambiar las coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas
a) (1,1, √2)
ρ = √x2 + y2 + z2 =√(12) + (12) + (√22) =√1+1+2 = √4= 2
tan θ = y/x = 1/1 = 1 = ¼ π
cos Φ = z/√x2+y2+z2 = √2 /√(12)+(12) +(√22) = √2 / 2 = 0.71 = ¼ π
Por lo tanto las coordenadas esféricas son: (2, ¼ π, ¼ π)
b) (1, √3, 0)
ρ = √x2 + y2 + z2 =√(12) + (√32) + (02) = √1 + 3 + 0 = √4= 2
tan θ = y/x = √3/1 = 1.73 = 1/3 π
cos Φ = z/ √x2 + y2 + z2 = 0 / √(12) + (√32) + (02) = 0/2 = ½ π
Por lo tanto las coordenadas esféricas son: (2, 1/3 π, ½ π )
3) Convertir las coordenadas esféricas dadas a coordenadas cilíndricas
a) (4,1/3 π, 1/3 π)
Esféricas – Cartesianas
x = ρ sen Φ cos θ = 4 sen 1/3 π cos 1/3 π = 4 (0.87) (0.5) = 1.74
y = ρ sen Φ sen θ = 4 sen 1/3 π sen 1/3 π = 4 (0.87) (0.87) = 3.03
z = ρ cos Φ = 4 cos 1/3 π = 4 (0.5) = 2
Las coordenadas son (1.74,3.03,2)
Cartesianas – Cilíndricas
r = √x2 + y2 = √ (1.742) + (3.032) = √3.03 + 9.18 = √12.21 = 3.49
tan θ = y/x = 3.03/1.74 = 1.74 = 1/3 π
z=z =2
Por lo tanto las coordenadas son: (3.49, 1/3 π, 2)
b) (2, 5/6 π, ¼ π)
Esféricas – Cartesianas
x = ρ sen Φ cos θ = 2 sen 5/6 π cos 1/4 π = 2 (0.5) (0.7) = 0.7
y = ρ sen Φ sen θ = 2 sen 5/6 π sen 1/4 π = 2 (0.5) (0.7) = 0.7
z = ρ cos Φ = 2 cos 5/6 π = 2 (-0.87) = - 1.74
Las coordenadas son (0.7,0.7, -1.74)
Cartesianas – Cilíndricas
r = √x2 + y2 = √ (0.72) + (0.072) = √0.49 + 0.49 = √0.98 = 0.99
tan θ = y/x = 0.7/0.7 = 1= ¼π
z=z = -1.74
Por lo tanto las coordenadas son: (0.99 , ¼ π, - 1.74)
4) Describir la grafica de la ecuación en tres dimensiones
ρ = 4 COS Φ
Si multiplicamos por ρ, tenemos: ρ2 = 4 ρ cos Φ
ρ2 = x2 + y2 + z2
z = ρ COS Φ
Sustituyendo:
x2 + y2 + z2 = 4 z
Despejando:
x2 + y2 + z2 - 4z = 0
Trinomio Cuadrado Perfecto:
x2 + y2 + z2 - 4z + (4/2)2 = (4/2)2
x2 + y2 + z2 - 4z + 4 = 4
X2 + y2 + (z – 2)2 = 4
(x-h)2 +(y–k)2 + (z-t)2 = r2
Por lo tanto las coordenadas son C ( 0,0,2)
5) Encontrar una ecuación en coordenadas cilíndricas y una en coordenadas esféricas para la grafica de la ecuación dada:
a) x2 + y2 + z2 = 4
Aplicando:
ρ2 = x2 + y2 + z2
Tenemos:
ρ2 = 4
ρ = √4
b) y2 + z2 = 9
Aplicando:
x2 = r2 sen2 θ + z2
Tenemos:
r2 sen2 θ + z2 = 9
r2 sen2 θ = 9 – z2
r2 = 9-z2 / sen2 θ
r = √9-z2 / sen2 θ
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